Chebyshev’s Inequality (Ketaksamaan Chebyshev)

DISTRIBUTIONS OF  RANDOM VARIABLE

DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

1.11 Chebyshev’s Inequality

(Ketaksamaan Chebyshev)

selengkapnya ketaksamaan chebishev

  1. Pendahuluan

Konsep atau rumus yang berhubungan dengan Ketaksamaan Chebyshev

  • Ekspektasi yang berkaitan dengan suatu variabel random

bila x kontinu

bila x diskrit

=

Varians dari X akan dilambangkan dengan σ2, dan jika σ2 ada, kita mendefinisikannya dengan σ2 = E [(X – μ)2], untuk X adalah variabel random jenis diskrit atau kontinu.

Untuk menghitung varians σ2                           

σ lambang dari simpangan baku

  • Fungsi Pembangkit Momen

fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random X. Misalkan  ada bilangan positif h sehingga untuk -h < t < h ekspektasi matematikanya, E (etx) ada. Jadi

 

B. Topik

Ketaksamaan Chebyshev

Dalam bagian ini kita akan membuktikan teorema yang memungkinkan kita untuk menemukan batas atas (atau bawah) untuk probabilitas (peluang) tertentu. Batas ini, bagaimanapun, tidak perlu dekat untuk probabilitas (peluang) yang tepat, dan maka, kita biasanya tidak menggunakan teorema untuk memperkirakan probabilitas. Prinsip penggunaan teorema dan kasus khusus itu adalah dalam diskusi teoritis.

Teorema 6. Misalkan u(X) adalah fungsi non negatif dari variabel random X. jika E[u (X)] ada, maka, untuk setiap c konstanta positif,

Pr [ u(X) ≥ c ] ≤

Bukti. Buktinya diberikan ketika variabel random X adalah tipe kontinyu, tetapi bukti dapat disesuaikan dengan kasus diskrit jika kita mengganti integral dengan jumlah. Misalkan A= { x ; u(x) ≥ c} dan misalkan f(x) menandakan p.d.f dari X. Maka

E[u (X)]  =
karena setiap integral di anggota ekstrim  ruas kanan dari persamaan sebelumnya adalah non negatif, anggota ruas kiri lebih besar dari atau sama dengan salah satu dari mereka. Secara khusus,

 

Namun, jika x ϵ  A, kemudian u(x) ≥ c; maka, anggota ruas kanan dari ketaksamaan sebelumnya tidak meningkat jika kita mengganti u(x) dengan c.

sehingga

Sejak

 

 

 

 

itu mengikuti

E[u (X)] ≥ c Pr [ u(X) ≥ c ]
yang merupakan hasil yang diinginkan.

Teorema sebelumnya adalah generalisasi dari ketaksamaan yang sering disebut ketaksamaan Chebyshev. Ketaksamaan  ini sekarang akan dibentuk.

Teorema 7. Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan  variabel random X memiliki distribusi probabilitas tentang apa yang kita asumsikan bahwa hanya ada varians yang terbatas σ2. ini, tentu saja, menyiratkan bahwa ada mean (rata-rata) μ.

Maka  untuk setiap k > 0
Pr (|X- μ| ≥ kσ) ≤
Atau equivalen dengan

Pr (|X- μ| ≥ kσ) ≥ 1-

Bukti. Dalam teorema 6 ambil u(X) = (X – μ)2 dan c = k2σ2 . kemudian kita mempunyai

Pr [(X- μ)2 ≥ k2σ2] ≤  =

karena pembilang dari anggota ruas kanan dari ketaksamaan sebelumnya adalah σ2, dalam persamaan dapat ditulis

Pr (|X- μ| ≥ kσ) ≤
yang merupakan hasil yang diinginkan. Tentu, kami akan mengambil jumlah k positif lebih besar dari 1 untuk memiliki ketaksamaan yang di cari.

Hal ini terlihat bahwa bilangan 1/k2  adalah batas atas untuk probabilitas Pr (|X- μ| ≥ kσ). Dalam contoh berikut ini batas atas dan nilai yang tepat dari probabilitas dibandingkan dalam kejadian khusus.
Contoh 1. misal X mempunyai p.d.f

F(x) =  ,                    < x <
. = 0 yang lainnya.

Disini μ = 0 dan σ2 = 1. If k = 3/2, kita mempunyai probabilitas eksak

Pr (|X- μ| ≥ kσ) = Pr (|X|  ) = 1 –
Dengan ketaksamaan chebysev, probabilitas sebelumnya  mempunyai batas atas 1/k2 = 4/9. Sejak 1-  = 0,134, dengan perkiraan, probabilitas eksak  dalam kasus ini adalah jauh kurang dari batas atas 4/9. Jika kita mengambil k=2, kita mempunyai kemungkinan

Pr(|X| ≥ 2) = 0. Ini kembali dengan sangat kurang dari batas atas 1/k2 = ¼  menyajikan dalam ketaksamaan chebyshev.

Dalam setiap kejadian pada contoh sebelumnya, probabilitas Pr (|X- μ| ≥ kσ) dan batas atas 1/k2 terikat berbeda jauh. Hal ini menunjukkan bahwa ketaksamaan ini mungkin dibuat lebih tajam. Namun, jika kita menginginkan ketaksamaan yang berlaku untuk setiap

k > 0 dan berlaku untuk semua variabel random yang memiliki varians yang terbatas, seperti peningkatan adalah tidak mungkin, seperti yang ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh 2. Misal X variabel random tipe diskrit memiliki probabilitas 1/8, 6/8, 1/8 di titik x = -1,0,1, resvectively. Disini μ = 0 dan σ2 = ¼. Jika k =2, kemudian 1/k2 = ¼ dan

Pr (| X| ≥ 1) = ¼. Bahwa , probabilitas Pr (| X- μ|) ≥ kσ) berikut mencapai batas atas 1/k2 = ¼
Oleh karena itu ketaksamaan tersebut tidak dapat ditingkatkan tanpa asumsi lebih lanjut tentang distribusi dari X.

 

Tambahan

Jika peubah acak X memiliki rerata μ dan varian σ2 tidak nol, maka kita dapat menghubungkan antara keduanya, dalam pernyataan peluang dan hukum ini ditemukan oleh seorang ahli matematika pada abad 19, yaitu P. I Chebyshev. Hukumnya atau rumusnya ini dinamakan ketaksamaan Chebyshev.

Buku pdf  Pengantar Statistika Matematika oleh H. Maman Suherman,Drs.,M.Si

 

 

 

 

  1. Latihan

 

1.104 Misalkan X (adalah) variabel random dengan mean dan misalkan E[(X – μ )2k] ada.

Tunjukkan, dengan d>0, bahwa Pr (|X- μ| ≥ d) ≤  E[(X – μ )2k]/d2k

 

1.105 Misalkan X (adalah) suatu variabel random bahwa  Pr (X ≤ 0) = 0 dan misalkan

μ = E (X). Tunjukkan bahwa Pr (X ≥ 2 μ ) ≤ 1/2.

 

1.106 jika X adalah suatu variabel random yaitu E(X)=3 dan E(X2)=3 gunakan

ketaksamaan chebyshev’s untuk menentukan batas bawah  untuk probabilitas

Pr(-2  < X < 8).

 

1.107 misalkan X (adalah) suatu variabel random dengan fungsi pembangkit momen M(t),

– h<t<h. Buktikanlah bahwa

Pr (X ≥ a)  ≤ e –at M (t),    0 < t < h,

dan bahwa

Pr (X ≤ a)  ≤ e –at M (t),   -h < t < 0.

 

Isyarat. Misal u(x) = etx dan c = eta di teorema 6. Catatan. Hasil ini menyiratkan bahwa Pr (X≥ a) dan Pr (X≤a)  kurang dari batas bawah yang paling rendah masing-masing e –at M (t) ketika 0 < t < h dan ketika  -h < t < 0

 

1.108.fungsi pembangkit momen X ada untuk semua nilai-nilai riil t dan diberikan

M (t) =  , t ≠ ), M(0) = 1.

 

Menggunakan hasil dari  latihan sebelumnya untuk menunjukkan bahwa Pr( X ≥ 1)= 0 dan Pr( X ≤ – 1) = 0. Catatan bahwa di sini h tanpa batas.

 

 

 

 

Penyelesaian

1.104. Diketahui : X (adalah) variabel random dengan mean dan misalkan E[(X – μ )2k] ada

Ditanya   : dengan d > 0, tunjukkan bahwa Pr (|X- μ| ≥ d) ≤  E[(X – μ )2k]/d2k

Jawab      :

Dengan menggunakan bukti teorema 6

Pr [(X- μ)2 ≥ k2σ2] ≤  =

 

Ambil Pr (|X- μ| ≥ d) = Pr (|X- μ|2k ≥ d2k) kedua ruas dikali 2k, dengan k=0

Pr (|X- μ| ≥ d) = Pr (|X- μ|2k ≥ d2k) ≤

Sehinnga

Pr (|X- μ| ≥ d) ≤

terbukti

1.105. Diketahui :   X suatu variabel random bahwa  Pr (X ≤ 0) = 0

μ = E (X)

Ditanya   :   Tunjukkan Pr (X ≥ 2 μ ) ≤ ½

Jawab      :

Adt (akan ditunjukkan)

Pr (X ≥ 2 μ ) ≤ ½

Misal

c = 2 μ

Dengan menggunakan teorema 6

Pr [ u(X) ≥ c ] ≤  , maka

Pr [X ≥ c ] ≤

Pr [X ≥ 2 μ ] ≤

Pr [X ≥ 2 μ ] ≤

Pr [X ≥ 2 μ ] ≤       terbukti

Jadi, terbukti bahwa Pr [X ≥ 2 μ ] ≤

 

1.106. Diketahui : E(X) = µ = 3

E(X2) = 13

Ditanya : batas bawah Pr(-2  < X < 8)

Jawab :  σ2 = E(X2) – µ2

= 13 – 32

= 13 – 9

σ2= 4

σ = 2

Dengan ketaksamaan Chebyshev,

 

Batas bawah

Pr (|X- μ| ≥ kσ) ≥ 1-

Pr (|X- 3| ≥ 2k) ≥ 1-
Pr (|X- 3| ≥ 2k) ≥ 1-

Pr [ -2k < (X- 3) < 2k] ≥ 1-

Pr [ -2k +3 < X < 2k + 3] ≥ 1-

Batas untuk Pr(-2  < X < 8)]

-2k + 3 = -2

-2 k =  -5

k =

2k + 3 = 8

2 k = 5

k =

 

batas bawahnya  adalah

1-  = 1-  =  = 0,84

Jadi, batas bawah untuk batas bawah Pr(-2  < X < 8) adalah  = 0,84

 

1.107.  Diketahui : fungsi pembangkit momen M(t), – h<t<h.

Ditanya    : Buktikanlah bahwa

Pr (X ≥ a)  ≤ e –at M (t),    0 < t < h dan

Pr (X ≤ a)  ≤ e –at M (t),   -h < t < 0.

Jawab        :

Adb  Pr (X ≥ a)  ≤ e –at M (t),    0 < t < h dan

Pr (X ≤ a)  ≤ e –at M (t),   -h < t < 0.

Misal u(x) = e tx   dan  c = e ta

Dengan menggunakan teorema 6

Pr [ u(X) ≥ c ] ≤  , maka

 

 

X≤ a

X ≥ a

Pr [e tx   ≥ e ta   ] ≤

 

0  < t < h

-h < t < 0

-h

h

0

Pr [e tx   ≥ e ta   ] ≤

Pr [e tx   ≥ e ta   ] ≤ e -ta M(t)

 

Hasil ini menyiratkan bahwa Pr (X≥ a) dan Pr (X≤a)  kurang dari batas bawah yang paling rendah masing-masing e –at M (t) ketika 0 < t < h dan ketika  -h < t < 0.

Sehingga didapatkan Pr (X ≥ a)  ≤ e –at M (t),    0 < t < h , dan

Pr (X ≤ a)  ≤ e –at M (t),   -h < t < 0

Jadi, terbukti bahwa  Pr (X ≥ a)  ≤ e –at M (t),    0 < t < h , dan

Pr (X ≤ a)  ≤ e –at M (t),   -h < t < 0

 

 

 

 

1.108. Diketahui : fungsi pembangkit momen X ada untuk semua nilai-nilai riil t dan diberikan

M (t) =  , t ≠ ), M(0) = 1.

Ditanya : Tunjukkan bahwa Pr( X ≥ 1)= 0 dan Pr( X ≤ – 1) = 0

Jawab

Dengan menggunakan latihan sebelumnya

            Pr (X ≥ a)  ≤ e –at M (t),

Pr (X ≤ a)  ≤ e –at M (t),

a = 1 , Pr (X ≥ 1)  ≤ e –1t M (t)

Pr (X ≥ 1)  ≤ e –1t

Pr (X ≥ 1)  ≤   = t-1.

 

 

a = -1 , Pr (X ≥ 1)  ≤ e 1t M (t)

Pr (X ≥ 1)  ≤ e 1t

Pr (X ≥ 1)  ≤   = t-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Kesimpulan

Ketaksamaan Chebishev

Jika peubah acak X memiliki rerata μ dan varian σ2 tidak nol, maka kita dapat menghubungkan antara keduanya, rumus ini dinamakan ketaksamaan chebyshev.

Teorema 6. Misalkan u(X) adalah fungsi tak negatif dari variabel random X. jika E[u (X)] ada, maka, untuk setiap c konstanta positif,

Pr [ u(X) ≥ c ] ≤

Teorema 7. Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan  variabel random X memiliki distribusi probabilitas tentang apa yang kita asumsikan bahwa hanya ada varians yang terbatas σ2. ini, tentu saja, menyiratkan bahwa ada mean (rata-rata) μ.

Maka  untuk setiap k > 0
Pr (|X- μ| ≥ kσ) ≤     (batas atas)
Atau equivalen dengan

Pr (|X- μ| ≥ kσ) ≥ 1-     (batas bawah)

 

 

 

 

 

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s